Как перенести доменное имя на другой хостинг или к другому регистратору?

Под "переносом домена" обычно скрываются две разные операции, и важно понимать, какая нужна вам. Первая - просто смена хостинга: домен как был зарегистрирован на вас, так и остаётся, меняется только сервер, на который он указывает. Вторая - смена регистратора, то есть компании, где домен официально зарегистрирован, при этом сам сайт может продолжать работать на прежнем хостинге без изменений.

Если речь о переезде на новый хостинг (как в вашем случае), делать нужно вот что: в панели управления доменом меняются NS-записи (или, реже, A-запись) на новый сервер, а дальше остаётся ждать, пока эти изменения разойдутся по интернету - обычно это занимает от нескольких часов до 1-2 суток из-за того, как устроено кеширование DNS у разных провайдеров. Сайт не пропадает мгновенно и резко: часть посетителей может какое-то время видеть старую версию, часть - уже новую, а после полного распространения записей все видят одно и то же.

Чтобы переезд прошёл без сюрпризов, стоит сначала полностью настроить и проверить сайт на новом хостинге (по IP-адресу или технической ссылке, без переключения домена), и только убедившись, что там всё работает, переключать NS-записи. Старый хостинг лучше не отключать сразу - подержать его активным ещё день-два, пока не станет ясно, что новый принимает весь трафик.

Смена именно регистратора (если она вам тоже нужна) - процедура отдельная и регулируется правилами Координационного центра доменов .RU/.РФ: обычно требуется снять блокировку на передачу у текущего регистратора, подать заявку у нового и подтвердить владение доменом. Конкретные сроки и шаги называет регистратор, к которому вы переходите - у разных компаний процесс оформлен немного по-разному.