Как перенести сайт на другой хостинг, если домен на NIC.RU?

Домен на NIC.RU и хостинг сайта - это две независимые вещи, и перенос хостинга их не пересекает: домен как был закреплён за вами в реестре и личном кабинете NIC.RU, так и останется, менять регистратора для переезда хостинга не нужно. Единственное, что придётся сделать в личном кабинете NIC.RU - это перенаправить домен на новый сервер уже после переезда сайта.

Сам перенос идёт стандартно: снимаете копию файлов и базы данных со старого хостинга, загружаете на новый, проверяете работу сайта там по временному техническому адресу - и только когда всё работает, переключаете домен. В личном кабинете NIC.RU это делается двумя способами: если новый хостинг предлагает свои NS-серверы и просит переключиться на них, меняете NS-записи домена на них через раздел "Управление DNS"; если хотите оставить управление DNS за NIC.RU, просто меняете A-запись домена на IP-адрес нового сервера, а остальные записи не трогаете.

За несколько дней до переключения уменьшите TTL DNS-записей до 300-600 секунд в том же разделе - тогда переключение разойдётся по интернету за час-два вместо суток. Отдельно проверьте MX-записи, если почта у вас тоже привязана к домену: их не нужно менять при переносе хостинга сайта, если почта работает через отдельный сервис вроде Яндекс 360, но если почтовые ящики жили на старом хостинге, их придётся переносить и настраивать заново.

Продление и владение доменом при этом никак не страдают: NIC.RU видит только, куда домен сейчас указывает технически, а не то, где физически лежит сайт. Перевести саму регистрацию домена к другому регистратору - это отдельная процедура (перенос домена, а не хостинга), она не обязательна и делается только если вы явно этого хотите.